Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

đề thi học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh – bảng a
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (2điểm)
Cho họ đường cong với
Chứng minh rằng: Nếu a để đường thẳng y=a không cắt họ đường congthì họ đường cong có cực đại và cực tiểu.
Bài 2 (2điểm)
Chứng minh rằng:
Bài 3 (2điểm)
Giải phương trình:
Bài 4 (2điểm)
Giải phương trình:
Bài 5 (2điểm)
Giải phương trình:
Bài 6 (2điểm)
Cho hàm số
Chứng minh rằng: ta luôn có:
Bài 7 (2điểm)
Cho hàm số thoả mãn 2 điều kiện
i.
ii. 1 thì
Hãy xác định công thức đơn giản tính
Bài 8 (2điểm)
Giải hệ phương trình

Bài 9 (2điểm)
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:

Bài 10 (2điểm)
Chứng minh rằng:

Đáp án - thang điểm
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh – bảng a

Nội dung
Thang điểm

Bài 1 ( 2 điểm)
Vì m+nnên họ đường cong có cực đại, cực tiểu khi m+n > -1.
Đường thẳng không cắt nên phương trình:
vô nghiệm
Nên suy ra phương trình: vô nghiệm
< 0 có nghiệm a
0
-1 có cực đại, cực tiểu
Bài 2 ( 2 điểm)
Bổ đề: x>0 thì ex >x+1
Thật vậy: Đặt f(x) = ex - x - 1
Ta có:
0 thì f(x) > f(0) = 0 x+1 0
áp dụng bổ đề ta có:

Bài 3 ( 2 điểm)
Điều kiện
Nhận thấy không phải là nghiệm nên phương trình

Đặt phương trình trở thành:
Với t =1 thì phương trình vô nghiệm
Với thì phương trình có nghiệm
Kết luận: Phương trình có nghiệm

Bài 4 ( 2 điểm)
Điều kiện:
Đặt
Phương trình trở thành:

Bài 5 ( 2 điểm)
Biến đổi tương đương phương trình đã cho

Giải (1) ta được x=kvới k
Giải (2): Ta có (2)
(3)
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số:
ta được

do đó
suy ra (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm.
Kết luận: Phương trình có nghiệm x=kvới k
Bài 6 ( 2 điểm)
Trường hợp 1: Tam giác ABC không tù, ta có


Chứng minh bất đẳng thức trên.
Trường hợp 2: Tam giác ABC tù, không giảm tính tổng quát giả sử góc C tù, ta có:


Vì ta có nhận xét: với C là góc tù.
Chứng minh ở trường hợp 1.
Bài 7 ( 2 điểm)
Vì
Với theo giả thiết


vậy với
vì thoả mãn cô