Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A
(Thời gian làm bài 180 phút)

Bài 1: (7 điểm)
1) Xét tính đơn điệu của hàm số: yx-5)
2) Cho hàm số y
Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y
3)Giải bất phương trình:
2x > 2x.3x4x2.3x
Bài 2: (4 điểm)
Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình:
Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất.
Bài 3(5 điểm)
Giải phương trình:
1)
2) sin3x.(1- 4sin2x) =
Bài 4:(4 điểm)
ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h.
Hy là đường thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đường thẳng Hy luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Hy cắt Ax tại S`. Xác định h theo a để SS` ngắn nhất.
Hướng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi
Lớp 12

Bài 1:
Câu 1: (2 điểm)
Tập xác định: D = R 0,25 điểm
y`= (-3x-5) + 0,25 điểm
3(2-3x) = 0,25 điểm
Điểm tới hạn: xx 0,25 điểm
x -( 2/3 12/5 +(
y` + (( - 0 +

y 0,5 điểm


Hàm số đồng biến trong khoảng (-(; 2/3) 12/5; +() 0,25 điểm
Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25 điểm
Câu 2: (2 điểm)
Đường tiệm cận xiên có hệ số góc k = a 0,25 điểm
Đường tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng y
ta có a=2 0,25 điểm
Xét y
y` = 0,25 điểm
Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là:
0,5 điểm
=> 0,25 điểm
Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số
ythoả mãn điều kiện 0,25 điểm
Kết luận: a=2, b=-3, c=0 0,25 điểm
Câu 3: (3 điểm)
Bất phương trình trở thành:
2x)(1-2x.3x)>0 (*) 0,5 điểm
Tập xác định: -2 (x 0,25 điểm
(*) ( 0,5 điểm
Xét hệ (I): Giải (1) ta được -1< x ( 1/3 0,5 điểm
Đặt f(x) = 1-2x.3x ta thấy:
-1 ( x ( 0 hiển nhiên f(x)>1 0,25 điểm
Khi 0
Do đó f(x) =1-2x.3x > 0
Nghiệm của (I) là: 0,25 điểm
Xét hệ (II): Giải (3) ta được 0,25 điểm
Nhưng f(x) = 1-2x.3x > 0 (x( 0 nên bất phương trình (4) không
thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3).
Vậy hệ phương trình