Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: Toán Thời gian: 180 phút

Câu 1: (4 điểm)
Cho hàm số: (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
(1)
Câu 2: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: với
b) Tìm m để pt sau có nghiệm:

Câu 3: (5 điểm)
a) Tính:
b) Tìm thoả mãn
c) Cho các số dương a, b, c, d thoả mãn:

Chứng minh rằng:
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho elíp: (E) và Hypebol: (H) (với a, b, m, n > 0) có cùng chung tiêu điểm F1 và F2: Chứng minh rằng tiếp tuyến của (E) và (H) tại giao điểm của chúng vuông góc với nhau.

Câu 5: (4,5 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD, gọi (C) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Điểm
M ( (C), gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là hình chiếu của M trên các mặt phẳng (BCD); (ACD); (ABD); (ABC).
a) Tìm vị trí điểm M ( (C) sao cho tổng:
S = MA1 + MB1 + MC1 + MD1 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng tồn tại điểm M ( (C) để 4 điểm A1, B1, C1, D1 không đồng phẳng:




















đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn: Toán Thời gian:

Câu 2
(4 điểm)
Câu a: (2 điểm) Chứng minh rằng với
(1) với
Đặt:
0,25


 Ta có:
0,25



0,25


 Vì còn với
0,25


 Vậy hàm số f(x) = đồng biến trên
0,25


 với
0,25


 hay f(x) đồng biến
0,25



với
0,25


Câu b: (2 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
(1)
Phương trình (1)
0,5


 (2)
0,25


 Xét hàm số Ta có
0,5


 Ta có Vậy hàm số f (t) đồng biến ( t
0,25


 Từ đẳng thức (2)
0,25


 3)
Phương trình (1) có nghiệm ( Phương trình (3) có nghiệm
( (` ( 0 ( m2 - 1( 0 (
0,25

Câu 3
(5 điểm)
Câu a: (2 điểm) Tính:




(I)1 ( I2) (I3)
0,5


 Chứng minh: I1 = I3
Đặt:

0,25


 Vậy I1 - I3 = 0
0,25


 Ta tính:
Đặt:
0,25


 Đặt:
0,25



0,25



0,25


Câu c: (1,5 điểm) Cho các số dương a, b, c, d thoả mãn:

Chứng minh rằng:
Đặt:
0,25


 Theo đ