Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút

Câu1: (6 điểm)
Cho hàm số y= x3 + 4x2 + 4x +1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Cho M(x0;y0) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị tại M1 và M2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M1M2.
Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi các tiếp điểm là M3 và M4. Viết phương trìng đường thẳng chứa M3 và M4.
Câu 2: ( 5 điểm)
Giải các phương trình sau:
tgxsin2x - 2sin2x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1)
= (2x2 – x +1)2x (2)
Câu 3: ( 4 điểm)
Tính tích phân sau:
I =

Câu 4: ( 5 điểm)
Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách đều điểm O.


Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12
Môn: Toán

Câu 1: ( 6 điểm)
( 2 điểm)
TXĐ: D =R (0,25đ)
Chiều biến thiên:
y’ = 3x2 + 8x + 4
y’ = 0 <=> x = -2; x=
Hàm số đồng biến -2) nghịch biến 0.25).
Cực đại, cực tiểu:
Cực đại tại :) xCĐ = -2; yCĐ = 1.
Cực tiểu tại: xCT = yCT =
Giới hạn ; (0.25đ)
Tính lồi lõm và điểm uốn:
y’’ = 6x + 8 = 0 <=> x=
Hàm sô lồi từ lõm
Điểm uốn: I(0.25đ)






Bảng biến thiên: (0,5đ)
x
-2

y’
 + 0 - - 0 +

y
 1




Đồ thị (0,5 đ)















( 2điểm)
Gọi d qua M có hệ sô gọc k :
d: y=k(x-x0) + y0 (0,25đ)
Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng d là nghiệm của phương trình: x3 + 4x2 + 4x +1 = k(x-x0) + x03 + 4x02 + 4x0 +1
<=> x=x0 (0, 5 đ)
x2 + ( 4 + x0)x + x02 + 4x0 + 4 – k = 0 (1)
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) => x1, x2 lần lượt là hoành độ của M1, M2 =>
xI = (0,75 đ)
yI = y0 + k
I x =
Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt <=>
f(x0)
k > (0,5)
k

( 2đ)
Để thỏa mãn YCBT:
<=> y’ = 3x2 + 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt (0,25đ)
<=> a> (0,25đ)
Nhận xét: x3 + 4x2 + 4x + 1 = (3x2 + 8x +4(0,5đ)
Gọi M3(x3; y3), M4(x4; y4)
y3 = a (0,5đ)
y4 = a
Vậy phương trình đường thẳng đi qua M3; M4