đề thi học sinh giỏi lớp 12
( Thời gian 180 phút)

Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m
a). khảo sát hàm số khi m=-1
b) Tìm m để phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 2:(5 điểm) Cho phương trình
a) Giải phương trình khi m = 12
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3: (4 điểm) Tính
Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình
log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2
Bài 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC.
Đặt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4.
CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi
m1+m2+m3+m4

hướng dẫn sơ lược toán HSG12

1b) Phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0
x-2m)(x2-3x-m)=0

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trinh(2) có 2 nghiệm phân biệt 2m
Bài 2:( 5 đ)
a)(2 đ) Từ điều kiện 0 VP
VT
phương trình có nghiệm x=4
b). (3 đ )
Phương trình đã cho f(x) = (2)
Xét hàm số f(x) trên [0;4]
f(x)=f1(x)f2(x) với
f1(x) = có f’1(x) = 0
f1(x) trên [0;4] và f1(x) 0 x0;4]
f2(x) = có f’2(x) = >0
f2(x) trên [0;4] và f2(x) 0 x0;4]
f(xtrên [0;4]
Min[o;4] f(x) = f(0) = và Max[o;4] f(x) =12
Từ đó (2) có nghiệm Min[o;4] f(x) m Max[o;4] f(x)
m 12 là điều kiện để (1) có nghiệm
Bài 3:( 5 đ)
Trước hết ta chứng minh: a0, nN, n2 thì
Đặt y = khi đó x0 thì y1 và (2 đ)
Ta có:


= (3 đ)
Câu 4: Phương trình đã cho
xét hàm số y= với x>0, Minf(x) = 3 với x=1
y= g(x)= với x>0, Maxf(x) =3 với x=1
Phương trình đã cho có nghiệm x=1.
Bài 5:( 4 đ) Gọi O và G lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện
Ta có:
Mặt khác: 4R2 = (1 đ)
4R2 = 40G2 +GA2+GB2+GC2+GD2 (1 đ)
mà GA2 = GB2 = GC2 = GD2 =
4R2 = 40G2 +
4R2(1 đ)
Theo BĐT “ Bunhiacopxki” ta có
R2 ( 1 đ)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Tứ diện ABCD đều (1đ)